几何补编

四卷。清梅文鼎(详见《历算全书》)撰。《几何补编》是一部论述正多面体和半正多面体性质和计算的著作，写于1692年。书前梅文鼎自序说：“壬申(1692)春月，偶见馆童屈篾为灯，诧其为有法之形，乃复取《测量全义》量体诸率，实考其作法根源以补原书之未备。”《测量全义》十卷为意大利传教士罗雅谷(1590－1638)编译，载于《崇祯历书》中，其中有五种正多面体体积公式，并计算出了边长为100的各正多面体的体积，但未给出这些公式的来历。梅文鼎认真研究了这些多面体的几何性质，获得了计算各体内切球半径和体积的方法，他验证了《测量全义》中边长为100的正多面体体积计算结果，得出边长100的正二十面体体积为2181693，《测量全义》所录为523809，显然不对。在计算二十等面体和十二等面体各线段比例时用到了“理分中末”比例。他自序说：“《几何原本》理分中末线但有求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二十等面体之体积，因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例，又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例，并以理分中末为法，乃知此线原非徒设。”他还讨论了多面体的互容问题，尤其是正方体内容正十二面体，正方体内容正二十面体的作图法十分简洁。他写道：“置十二等面边为理分中末线之小分，求其全分为外切立方边。”“立方根与所容二十等面之边，若全数与理分中末之大分也。”“凡立方内容十二等面，皆以十二等面之边，正切于立方各面之正中凡六，皆遥相对如十字。假如上下两面所切十二等面之边横，则前后两面所切之边必纵，而左右两面所切之边又横。若引其边为周线，则六处相交皆成十字。立方内容二十等面边亦同”。“(十二等面的)外切立方与体内容立方径之比例，若理分中末之全分与其大分”。书中梅文鼎还给出了两种半正多面体的作法和性质，他称之为方灯体和圆灯体。”(方)灯体者，立方去其八角也。平分立体面之边为点而连为斜线，则各正方面内成斜线立方。依此斜线斜剖而去其角则成(方)灯体矣”。还可从正八面体作出这种方灯体：“凡八等面容(方)灯体，皆以(方)灯体之边线得八等面之半。”“圆灯为十二等面，二十等面所变。……皆于原边之半作斜线相连，则各平面之中成小平面。此小平面与原体之平面皆相似，即为内容(圆)灯体之面。……依此斜线剖之而去其角。”梅文鼎还进一步指出了这两种灯体的性质：“凡灯体可补为诸体”。“凡灯体棱之数皆倍于尖”。“凡灯体之棱皆可连为等边平面圈。”《几何补编》卷三讨论了方灯体、圆灯体的体积和边长的关系，方灯体与立方形、八等面体相互内接，圆灯体与十二等面体、二十等面体相互内接的各种情形。卷四讨论了“大圆容小圆法”。几个相等的小圆内切于大圆而又各自相切，小圆径与大圆径间的关系，这里需用到圆内接正多边形的知识。梅文鼎关于立体几何的研究成果是在不知道国外同类成果情况下独立得到的，代表了当时国内这方面的先进水平，有些成果具有实用价值。《几何补编》的版本有：《梅氏历算全书》本，多《补遗》一卷；《梅氏丛书辑要》本，后附《通率表》二页；《中西算学汇通》本。